「第３章 幾何学的要素の代数的な表し方」のまとめ

• 3.1 図形の性質を持たせた幾何学的要素
  • 基本的な幾何学的要素は代数的に扱える図形要素として扱う。
  • 点を座標(x,y,z)と定義することで代数学的な性質を持たせる。
  • 直線も面も、二つ以上の数の一まとめで一つの数学量を提案する。
  • 図形の性質を扱う数学量として15種類のデータ型を決めた。
  • 二項演算の種類13種類ある。
  • 型と演算の種類が多いのでG-BASICという言語を提案した。
  
  
• 3.2 平面幾何学での直線の表し方
  • 直線の式を f=ax+by+c=0 とし、(a,b,c)を直線と定義する。
  • 数値の一組(a,b,c)は、幾何学的な意味を含ませて標準化する。
  
  
• 3.3 空間直線の定義方法
  • 空間直線は、直線上の一点と方向余弦とを与えて定義する。
  • 基準点としての直線上の一点は、原点に最も近い点とする。
  • ３次元空間の一つの座標軸もこの直線の定義が使われる。
  • 座標系は、原点を共有する三直線で定義されていることになる。
  
  
• 3.4 立体幾何学での面の表し方
  • 面の式を ax+by+cx+d=0 と置いて、(a,b,c,d)を面とする。
  • 数値の一組(a,b,c,d)は、幾何学的な意味を含ませて標準化する。
  
  
• 3.5 線分と辺との区別
  • 線分は幾何学的要素の性質を持った数学量として扱う。
  • 辺とは、多角形などの図形を構成する要素に使った線分を言う。
  • 三角形を構成するのは辺であるが、補助線や垂線は辺ではない。
  • 辺は向きを持ち、図形要素として左右の領域の境界を定める。
  • 辺は、領域から見て相対的に向きを定義し直すことがある。
  
  
• 3.6 座標系の代数的な定義方法
  • ３次元の座標系は三本の空間直線のセットで表す。
  • 原点が共通の基準点であるので、結果として四つのベクトルで決まる。
  • ３次元の座標系は、３×４の行列で与えることになる。
  
  
• 3.7 変換行列の定義
  • 変換行列は座標系の行列と同型で定義する。
  • G-BASICでは、座標系の行列も変換行列も線分として描く。
  
  
• 3.8 基本的な図形要素としての円と矩形
  • 円の型では半径に符号を付けて、右回り左回りの区別を与える。
  • 円の符号は、円に接線を引くときに接線の向きを一意に決める。
  • 矩形の型は作図の補助要素として利用度が高い。
  • 立体図形としての球は、利用方法を今後工夫する必要がある。
  • 立体図形としての直方体は、干渉処理の前処理に応用できる。
  
  
• 3.9 図形要素間の算法
  • G-BASICの型同士の算法は、感覚的な理解をもとに構成した。
  • 算法が成り立たない場合や、エラーの通知にFLAGを使う。
  
  
• 3.10 関係演算子と論理演算子の評価方法
  • 位相幾何学的な左右、上下などの判定には記号＞、＝、＜を使う。
  • 関係演算子による判定は精度を考えて関係演算子が利用される。
  • 「＠」と「＆」の二つを論理和と論理積の記号とする。
  • 記号「＠」は、二つの変数型を繋ぐという意味でも用いる。
  • 論理否定に相当する処理は図形要素では定義しない。
  • (-1)を乗ずる演算は、原点に対して点対称の位置への移動とする。
  
  
• 3.11 組み込み関数
  • 標準的な組込関数の引き数に図形要素の型で変数を代入できる。
  • 三角関数は図形要素の型を引き数にするように拡張定義してある。
  • 距離を求める演算には組み込み関数としてDISが用意されている。
  • 向きの定義を反転させる関数REVを定義した。
  • 変換行列の場合、REVの処理は逆変換の変換行列を計算する。
  
  
• 3.12 代入文
  • 代入文は、左辺に右辺の幾何学的要素の性質を取り込む。